ریاضی هفتم صفحه 91 - تمرین 1
۱ـ مانند نمونه عبارتهای تواندار را تا جایی که ممکن است ساده کنید.
$$۵^۲ \times ۵^۳ \times ۷^۶ =$$
$$۷^۲ \times ۷^۳ \times ۹^۵ =$$
$$۲^۳ \times ۶^۳ \times ۴^۷ =\_\_\_\_\_ \times \_\_\_\_\_ =$$
$$(۲^۵ \times ۳^۳ \times ۵) \times (۲^۳ \times ۳^۵ \times ۵^۶) =$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 91 - تمرین 1
در این تمرین، باید از هر دو قانون ضرب توانها استفاده کنیم:
1. **قانون پایههای مساوی:** $a^m \times a^n = a^{m+n}$ (توانها جمع میشوند)
2. **قانون توانهای مساوی:** $a^n \times b^n = (a \times b)^n$ (پایهها ضرب میشوند)
### ۱. $۵^۲ \times ۵^۳ \times ۷^۶$
* **گام ۱:** دو عبارت اول ($۵^۲ \times ۵^۳$) دارای **پایههای مساوی** (۵) هستند. توانها را جمع میکنیم.
$$۵^۲ \times ۵^۳ = ۵^{۲+۳} = ۵^۵$$
* **گام ۲:** حالا عبارت $۵^۵ \times ۷^۶$ را داریم. اینجا نه پایهها و نه توانها مساوی هستند. بنابراین، عبارت سادهتر از این نمیشود.
$$۵^۵ \times ۷^۶$$
### ۲. $۷^۲ \times ۷^۳ \times ۹^۵$
* **گام ۱:** دو عبارت اول ($۷^۲ \times ۷^۳$) دارای **پایههای مساوی** (۷) هستند. توانها را جمع میکنیم.
$$۷^۲ \times ۷^۳ = ۷^{۲+۳} = ۷^۵$$
* **گام ۲:** عبارت $۷^۵ \times ۹^۵$ را داریم. این بار **توانها مساوی** (۵) هستند. پایهها را در هم ضرب میکنیم.
$$۷^۵ \times ۹^۵ = (۷ \times ۹)^۵ = ۶۳^۵$$
### ۳. $۲^۳ \times ۶^۳ \times ۴^۷$
* **گام ۱:** دو عبارت اول ($۲^۳ \times ۶^۳$) دارای **توانهای مساوی** (۳) هستند. پایهها را ضرب میکنیم.
$$۲^۳ \times ۶^۳ = (۲ \times ۶)^۳ = ۱۲^۳$$
* **گام ۲:** عبارت $۱۲^۳ \times ۴^۷$ را داریم. نه پایهها و نه توانها مساوی هستند. بنابراین، سادهتر از این نمیشود.
$$۱۲^۳ \times ۴^۷$$
### ۴. $(۲^۵ \times ۳^۳ \times ۵) \times (۲^۳ \times ۳^۵ \times ۵^۶)$
* **گام ۱:** عبارتها را با **پایههای مساوی** مرتب و جدا میکنیم (قانون پایههای مساوی).
* **پایه ۲:** $۲^۵ \times ۲^۳ = ۲^{۵+۳} = ۲^۸$
* **پایه ۳:** $۳^۳ \times ۳^۵ = ۳^{۳+۵} = ۳^۸$
* **پایه ۵:** $۵^۱ \times ۵^۶ = ۵^{۱+۶} = ۵^۷$
* **گام ۲:** حاصلها را در هم ضرب میکنیم.
$$۲^۸ \times ۳^۸ \times ۵^۷$$
* **گام ۳ (سادهسازی نهایی):** دو عبارت اول ($۲^۸ \times ۳^۸$) دارای **توان مساوی** (۸) هستند. پایهها را ضرب میکنیم.
$$(۲ \times ۳)^۸ \times ۵^۷ = ۶^۸ \times ۵^۷$$
| عبارت | ساده شده نهایی |
| :---: | :---: |
| $۵^۲ \times ۵^۳ \times ۷^۶$ | $۵^۵ \times ۷^۶$ |
| $۷^۲ \times ۷^۳ \times ۹^۵$ | $۶۳^۵$ |
| $۲^۳ \times ۶^۳ \times ۴^۷$ | $۱۲^۳ \times ۴^۷$ |
| $(۲^۵ \times ۳^۳ \times ۵) \times (۲^۳ \times ۳^۵ \times ۵^۶)$ | $۶^۸ \times ۵^۷$ |
ریاضی هفتم صفحه 91 - تمرین 2
۲ـ عبارت تواندار مقابل را تا جایی که ممکن است، ساده کنید.
$$۲^a \times ۲^b =$$
به جای $a$ و $b$ یکبار عددهای ۳ و ۵ و یکبار ۴ و ۷ قرار دهید و تساویها را به صورت عددی بنویسید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 91 - تمرین 2
این تمرین دوباره بر استفاده از **قانون ضرب توانها با پایههای مساوی** تأکید میکند، این بار با استفاده از متغیرها.
### ۱. ساده کردن عبارت جبری
عبارت $۲^a \times ۲^b$ دارای **پایههای مساوی** (۲) است. پس توانها ($a$ و $b$) را با هم جمع میکنیم:
$$۲^a \times ۲^b = ۲^{a+b}$$
### ۲. جایگذاری اعداد
**حالت اول: $a=۳$ و $b=۵$**
تساوی را به صورت عددی مینویسیم و محاسبه میکنیم:
* **سمت چپ:** $$۲^۳ \times ۲^۵ = ox{۸} \times \box{۳۲} = ۲۵۶$$
* **سمت راست (ساده شده):** $$۲^{۳+۵} = ۲^۸ = ۲۵۶$$
* **تساوی عددی:** $$۲^۳ \times ۲^۵ = ۲^۸$$
**حالت دوم: $a=۴$ و $b=۷$**
تساوی را به صورت عددی مینویسیم و محاسبه میکنیم:
* **سمت چپ:** $$۲^۴ \times ۲^۷$$ (محاسبه نهایی بسیار بزرگ است: $۱۶ \times ۱۲۸ = ۲۰۴۸$)
* **سمت راست (ساده شده):** $$۲^{۴+۷} = ۲^{۱۱}$$
* **تساوی عددی:** $$۲^۴ \times ۲^۷ = ۲^{۱۱}$$
| حالت | $a$ و $b$ | عبارت جبری ساده شده | تساوی عددی |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| ۱ | $a=۳, b=۵$ | $۲^{۳+۵} = ۲^۸$ | $۲^۳ \times ۲^۵ = ۲^۸$ |
| ۲ | $a=۴, b=۷$ | $۲^{۴+۷} = ۲^{۱۱}$ | $۲^۴ \times ۲^۷ = ۲^{۱۱}$ |
